理解贷款中的年化利率、还款方式、单利与复利

在生活中，经常会看到这样的宣传：

• 某银行：信用卡分期，月利率低至 0.28%
• 某购物网站：零首付购 XXX，每期只需支付 0.6% 手续费

这些利率真的有这么低吗？

也许你看到过一些文章，告诉你这些利率都是骗人的，实际利率高的吓人。然后会给你一个公式，告诉你怎么计算实际的利率。

但为什么用这些公式计算出来的利率才是实际利率呢？

本文将通过几个通俗易懂的例子，带你详细的理解一下贷款中的利率：

• 什么是年化利率？
• 不同还款方式的差异是什么？
• 贷款中的利率到底是单利的还是复利的？
• 怎么计算实际的利率？
• 利率、折现率、内部收益率有什么关系？

年化利率

下文多处使用 12% 作为利率，只是因为刚好可以被 12 个月整除，方便计算，没有实际含义。

假设你现在急需 120,000 元，张三和李四都可以贷给你，而且他们两个要的年利率都是 12%，一年的利息都是 120,000 * 12% = 14,400 元。区别是：

• 张三要求你在借款时，就先把 14,400 元的利息支付了，一年后再归还 120,000 元本金；
• 李四允许你在一年后归还本金时，再支付利息，共计 134,400 元。

看起来从两个人手里借钱，最终需要支付的利息都是 14,400 元，那先支付利息和后支付利息有什么区别呢？

从张三手里借到 120,000 元的同时，就要支付 14,400 元利息了，最终到手的就只剩 120,000 - 14,400 = 105,600 元了。所以在这笔借款中，实际只借到了 105,600 元的本金。而一年后需要归还的是 120,000 元，除去本金，剩下的 120,000 - 105,600 = 14,400 元就是利息了。

也就是说，在这笔借款中，支付的利息确实是 14,400 元没错，但本金却不是 120,000 元，而是 105,600 元。用利息除以本金得到实际的利率其实是：14,400 / 105,600 = 13.64%。

表面上看都是 12% 的利率，但随着还款方式的不同，实际的利率是会差很多的。所以央行在 2021 年 3 月 31 日发布公告，要求“为维护贷款市场竞争秩序，保护金融消费者合法权益，所有贷款产品均应明示贷款年化利率”。

按照央行的这个标准，张三的贷款利息应该标注为 13.64%，李四的可以标注为 12%。

张三这种还款方式，俗称砍头息，是指在发放本金的时候，就先扣除了一部分利息。李四的这种还款方式，叫做一次还本付息。这两种还款方式，都是一次性支付的利息，下面再通过几个分期支付利息的方式，进一步理解一下年化利率。

还款方式

假设你现在还是急需 120,000 元，某商业银行提供了消费贷、装修贷等产品，按照央行的要求标注了年化利率（单利）是 12%，有如下几种还款方式：

• 先息后本：每个月支付一次利息，一年后归还本金
• 等额本金：每个月归还一次本金和利息，每次归还的本金相同
• 等额本息：每个月归还一次本金和利息，每次归还的本金和利息的总额相同

先息后本

年化利率是 12%，每个月的利率就是 1%（稍后会做解释）。每个月需要支付的利息就是本金乘以月利率：120,000 * 1% = 1,200 元，一年后归还本金 120,000 元。

这样算下来总计支付的利息是 1,200 * 12 = 14,400 元，和刚才给张三和李四支付的利息相同。但利息支付的过程刚好介于在张三和李四的之间，既不是开始就把所有利息都还了，也不是最后才支付的利息。那么最终的实际利率应该也是介于两者之间吧，但具体应该是多少呢？

回看计算过程，每个月支付的利息，都是用本金乘以月利率得到的，是本金在这一个月中产生的利息，所以月利率确实是实际月利率。那么月利率是 1% 的话，实际年利率是不是 1% * 12 = 12% 呢？

单利与复利

如果注意看各种贷款产品，包括消费贷、房贷等，会发现很多年化利率后面都明确标注了“单利”。央行的公告称：“贷款年化利率可采用复利或单利方法计算。复利计算方法即内部收益率法，具体示例见附件。采用单利计算方法的，应说明是单利。”

怎么理解这个单利和复利？也许把贷款换成存款更容易理解一些。

在这个例子中，可以反过来想，银行把 120,000 元存在了你这里，你每个月给银行支付 1% 的利息，一年后银行把钱取走了。现在问题来了，你给银行支付的利息，可不是消失了，银行如果没有及时取走，那就继续存在了你这里，你依然要给这笔利息按照 1% 的利率支付利息。然后到一年后存款到期时，银行连本带利的把钱全取走了，这时他应该取走多少钱呢？

• 初始的存款是：120,000 元
• 一个月后的存款和利息余额是：120,000 * (1 + 1%) 元
• 两个月后的存款和利息余额是：120,000 * (1 + 1%) * (1 + 1%) 元
• ……
• 一年后的存款和利息余额是：120,000 * (1 + 1%) ^ 12 = 135,219 元

很明显这是一个复利公式，所以实际的年利率应该是：(1 + 1%) ^ 12 - 1 = 12.68%，这也就是年化利率（复利）的计算方法。

理解了存款的，再回到贷款也是一样的。你从银行贷款了 120,000 元，第一个月支付利息时，你还没有钱可以还银行，那怎么办？你可以从银行继续按照 1% 的月利率再借款 1,200 元用于支付本月利息，以此类推。等到年底时，再一次性的把所有的本息都支付了要还多少？这还是一个复利问题，也就是常说的利滚利，最终要还的就是 135,219 元。

所以按照单利方式计算的年化利率，就是指按照月利率直接乘以 12 个月，而按照复利方式计算的年化利率，则是按照复利公式 (1 + 月利率) ^ 12 - 1 计算的。

现在已经能够分别通过单利和复利计算年化利率了，但为什么说复利计算出来的那个才是实际年利率，而不是单利计算出来的那个呢？提到复利就会想到利滚利，但在这个例子中，每个月给银行支付了利息之后，银行并没有再对这笔利息继续算利息，看起来好像没有利滚利，所以实际利率为什么不是单利呢？

表面上看是这样，但实际上这笔钱如果不用来支付利息，去存到其他银行里还能收到利息呢，现在把它还给银行了，你就收不到这笔利息了，所以实际的利率还是复利的。对银行来说也一样，他把这利息收回去之后，确实不会再收你的利息了，但这笔钱不会停在银行账户里不动，银行会用这笔钱继续贷给其他人去收利息，所以实际也还是复利的。

之所以会产生这个差异，本质上是支付的利息在你这不是凭空产生的、到银行那也不会凭空消失。这笔钱无论从哪来、到哪去，始终是有时间价值的，所以没有绝对的单利，说到底都是复利的。所谓的单利，只是在这笔贷款中，没有必要去继续关注利息产生的利息了。但这些利息并没有消失，它们在这笔贷款之外依然是有价值的，所以实际还是复利的。

这也是为什么大部分贷款产品标注的都是年化利率（单利）的原因，因为大部分贷款的还款周期都是按月的，所以按照单利标注更符合实际还款情况，也更容易计算。如果真标注了复利的年化利率，那计算每月还款时，月利率需要这样计算 (1 + 年利率) ^ (1 / 12) - 1，显然很麻烦也不直观。

等额本金

理解了先息后本里的逻辑，等额本金就没什么特别的了。

每月都要归还 120,000 / 12 = 10,000 元的本金，以及全部剩余本金所产生的利息。月利率还是 1%，每个月需要归还的利息是：

• 第一个月：120,000 * 1% 元
• 第二个月：120,000 * (11 / 12) * 1% 元
• 第三个月：120,000 * (10 / 12) * 1% 元
• ……
• 第十二个月：120,000 * (1 / 12) * 1% 元

总计支付利息是 7,800 元，显然比前面李四和先息后本的还款方式的总利息 14,400 元少了很多。那是不是这种还款方式就更划算呢？

既然这几种还款方式的实际利率相同，就说明单纯从钱的角度上，你所付出的成本是相同的。这种还款方式之所以总利息少，是因为你对本金所占用的时间也短。

也许换一种角度更容易理解，可以把这笔贷款拆分成 12 笔，每笔 10,000 元，月利率 1% 的贷款。用先息后本的还款方式，就是这 12 笔贷款都贷了一年；用等额本金的还款方式，就是每笔分别贷了 1、2、……、12 个月。

只要实际利率相同，不同还款方式的区别只在于对本金的使用周期的不同，你支付的利息总是你所占用的本金在对应周期内所产生的利息，对本金占用的周期短了，自然支付的利息也就少了。

等额本息

最后再来看一下等额本息的还款方式，利率方面和前两种还款方式没什么区别。但每次还款的本金不是固定的了，不容易直接计算。

可以先假设等额本息每个月还款本金和利息的总额是 x 元，可以得到如下公式：

• 第一个月还款的利息是 a1 = 120,000 * 1% 元，本金是 b1 = x - a1 元，还款后剩余本金是 c1 = 120,000 - b1 元
• 第二个月还款的利息是 a2 = c1 * 1% 元，本金是 b2 = x - a2 元，还款后剩余的本金是 c2 = c1 - b2 元
• ……
• 第十二个月还款的利息是 a12 = c11 * 1% 元，本金是 b12 = x - a12 元，还款后剩余的本金是 c12 = c11 - b12 = 0 元

把这些公式组合起来，就能算出来 x 是多少。好在不用手动算，可以在 Excel 里用 PMT 函数计算出来是 10,661.85 元。

总计支付的利息是 10,661.85 * 12 - 120,000 = 7942.2 元，比等额本金的 7800 元多一些。是因为前面所归还的本金少，所以总利息会高一些。因为这两种还款方式是房贷常见的两种还款方式，后续也许会单独写一篇文章（已写：如何选择房贷还款方式？是否应该提前还款？）专门对比两种还款方式和分析提前还款的问题，本文篇幅过长，就不再展开介绍。

折现率与内部收益率

前面主要都是正向的从利率去计算利息。少数的几次从利息计算利率，也都是只有一期，只需要用利息除以利率就行了。但实际很多时候只知道银行或商家给出的分期还款计划，该怎么根据这些去计算利率呢？

为了计算利率，需要从另一个角度再理解一下利率。

折现率

假设你现在要出售一个商品，报价是 100 元。张三和李四都要来买，但张三说我现在没钱，你先把东西给我，一年后我再把钱给你。

有了前面的基础，你已经知道了钱是有时间价值的这个概念。如果卖给张三，一年后你将拥有 100 元；而如果卖给李四，然后把这 100 元存到银行，一年后除了这 100 元，你还能收获一点利息。或者回到贷款，你现在急需 100 元，如果卖给李四，你就有 100 元可用了；而如果卖给张三，你就需要先从银行借款 100 元来用，等到张三一年后把钱给你时，再去银行还钱，但这时你发现张三的钱只够用来还本金，不够还利息。

所以你肯定不愿意卖给张三，而张三也知道这点，所以提出愿意一年后多付你一点钱，然后问你一年后想要多少钱呢？这时根据情况的不同，你可能会给出不同的答案：

• 如果你收到钱后会存起来，那么你可能会去查一下一年期存款利率（1.65%），然后告诉张三，一年需要给你 101.65 元，不然你不如卖给李四，然后把钱存银行了；
• 如果你现在急需用钱，那么你可能会去查一下一年期贷款利率（3.80%），然后告诉张三，一年后需要给你 103.80 元，不然一年后你连贷款利息都不够付；
• 如果你视金钱如粪土，收到钱之后随便找个地方一放，那么你可能会告诉张三，一年后给你 100 元就行了，反正钱放你这也没用；
• 如果你是股神，炒股年化收益率 20%，你可能会告诉张三，一年后需要给你 120 元，不然你就卖给李四，然后拿着钱去炒股了。

通过上面这个例子可以看出，钱确实是有时间价值的，而且很可能是可以量化出来的，这个量化的方式就是折现率。

之所以叫折现率，是因为为了便于评估和比较，通常都是把未来可能拥有的钱，折算到现在看看是多少，折算到现在的钱叫做净现值。

例如实际情况可能是张三说一年后付 110 元，李四说现在付 100 元，你现在想要卖给谁？

这时就可以按照折现率，将一年后的 110 元折算到现在，去和李四的 100 元比较一下，看看哪个更划算。

从例子中也可以看出，这个折现率不是一个固定的值，对于不同的人、不同的公司和不同的场景，折现率都是不同的。张三在一年后付给你的 110 元，如果按照 1% 的折现率算，净现值就是 108.91 元；如果按照 20% 的折现率算，净现值就是 91.67 元。

内部收益率 (IRR)

既然折现率很多时候是不确定的，所以有时可能会想要找到这样一个折现率：张三一年后给你 110 元，李四现在给你 100 元，当折现率是多少时，卖给他俩的净现值是一样的？

假设这个临界的折现率是 r，那么张三的 110 元的净现值就是 110 / (1 + r) 元，李四的净现值就是 100 元，让它俩相等可以计算出 r = 10%。

这个临界的折现率很有参考意义：当实际的折现率大于这个值时，说明张三未来的 110 元的净现值是小于 100 元的，你应该卖给李四；而小于这个值时，就应该卖给张三了。

这个临界值就是内部收益率 (IRR, internal rate of return)，内部收益率的定义是“净现值为零时的折现率”。

看到这可能会有一个疑问，为什么是净现值为 0 的折现率，明明刚才计算的是净现值是 100 时的折现率。其实从现金流的角度考虑，在刚才和张三的交易中，先是在现在失去了 100 元的商品，然后又在一年后得到了 110 元的收入。所以净现值为零就是 -100 + 110 / (1 + r) = 0，和刚才的计算没有区别。

IRR 与利率

说了半天，IRR 和利率有什么关系？

换个角度，如果把张三想象成银行，你现在失去了 100 元给了银行，一年后银行给了你 110 元，那计算出来的这个 IRR 不就是银行给你的利率吗。

所以如果你是在做一笔投资，用投资过程中收支的现金流计算内部收益率，结果的含义就如其字面意思，是这笔投资内部（指不包含外部通货膨胀等其他因素的影响）的收益率；而如果你是在做一笔存款或贷款，用存款或贷款中收支的现金流来计算内部收益率，结果的含义其实就是这笔存款或贷款的实际利率。

上面说的例子还比较简单，再来一个更复杂的例子：

还是以 100 元的价格出售商品，这次张三找到了一份稳定的工作，说想要分期付款，每个月发工资时给你 10 元，一年付完。这种情况的 IRR 是多少？

计算方式和上面一样，还是净现值为零时的折现率。假设折现率是每月 r，则每个月的净现值为：

• 交易发生时：-100 元商品
• 第一个月：10 / (1 + r%) 元
• 第二个月：10 / (1 + r%) ^ 2 元
• ……
• 第 12 个月：10 / (1 + r%) ^ 12 元

让它们的和为 0，就能计算出 IRR。可以在 Excel 中使用 IRR 函数计算出大概是 2.92%，年化（单利）是 35.07%。

回到贷款，现在有一笔贷款，本金是 120,000 元，每个月等额本息还款 10,661.85 元，这笔贷款的实际月利率是多少？

在这笔贷款中的现金流如下：

• 贷款发生时：+120,000 元，得到本金，净现值为 120,000 元
• 第一个月：-10,661.85 元，支付第一个月本息，净现值为 -10,661,85 / (1 + r%) 元
• 第二个月：-10,661.85 元，支付第二个月本息，净现值为 -10,661,85 / (1 + r%) ^ 2 元
• ……
• 第十二个月：-10,661.85 元，支付第 12 个月本息，净现值为 -10,661,85 / (1 + r%) ^ 12 元

让净现值为 0，能计算出 IRR 为 1%，年化（单利）为 12%，就是前面等额本息贷款例子中的利率。可以用刚才三种还款方式的现金流分别计算一下 IRR，都能得到相同的结果。

IRR 的应用

理解了 IRR 的含义后，对于生活中很多的现金流，都可以计算一下 IRR，来评估实际的收益率或利率。

比如常见的金融分期付款，120,000 元的产品，分期 12 期，每期手续费 1%。每个月支付 10,000 元的本金和 1,200 元的手续费，总计 11,200 元。

同样都是 120,000 元分 12 个月还完，等额本息每月只需还款 10,661.85 元，明显比这个分期付款的 11,200 元少了很多。

聪明的你现在应该已经能意识到这里存在什么问题了。每个月支付的利息是固定的 1,200 元，但只有第一个月的本金是 120,000 元。到最后一期时，本金只剩 10,000 元了，利息还是 1,200 元，月利率都已经到了 12% 了。

实际计算一下可以得到 IRR 为 1.79%，年化利率（单利）高达 21.46%，远不是看起来的 1% * 12 = 12% 那么低。

最后再来看一个月付和年付的例子，扩展下 IRR 的用法。很多网站会员或者产品订购都有类似这样的优惠策略，月付 10 元，年付可以优惠两个月（也就是 100 元）。那么如果选择年付，收益率是多少呢？

在这个例子中，年付的现金流如下：

• 购买会员时：-100 元，可以认为是存在网站里了
• 第一个月：+10 元，可以认为是网站返回来了 10 元用于支付当月会员费
• 第二个月：+10 元
• ……
• 第十二个月：+10 元

计算结果和刚才张三分期付款的例子一样，年化（单利）35.07%。

正如内部收益率中的内部两字，本文讨论的所有内容，都仅限于资金本身的成本和价值。除此之外，在实际生活中还要考虑张三跑路、网站倒闭等各种风险和其他因素。

Excel 相关函数

本文中涉及的 Excel 相关函数如下：

• PMT(rate, nper, pv, fv)：可以根据利率、期数、贷款额，计算等额本息每期需要还款数；也可以根据利率、期数、初值、终值计算每期需要的付款数
• IRR(values)：根据一组数值计算实际 IRR，如果输入的是每个月还款值，计算结果就是实际的月利率，年化利率（单利）就是 IRR * 12，年化利率（复利）就是 (1 + IRR) ^ 12 - 1；如果输入的是每年还款的值，计算结果就是实际的年利率
• XIRR(values, dates)：IRR 只能按照定期的还款计算，XIRR 可以指定每期还款的时间计算
• PV(rate, nper, pmt, fv)：根据利率、期数、每期付款数和终值计算初值
• FV(rate, nper, pmt, pv)：根据利率、期数、每期付款数和初值计算终值
• NPER(rate, pmt, pv, fv)：根据利率、期数、每期付款数、初值和终值计算需要的期数

具体用法可以看 Excel 的帮助文档。